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トップページでは，ブラウザの中でトポロジー最適化を実際に計算しています。トポロジー最適化は，与えられた設計領域・荷重・支持条件のもとで，限られた量の材料を「どこに置けば最も変形しにくい構造になるか」を求める手法です。穴の数や部材のつながり方（位相＝トポロジー）まで含めて形が決まるため，設計者が思いつかない形態が現れることがあります。

解いている問題

minimize  C = f^Tu   subject to  K(ρ)u = f,  ∫_D ρ dΩ ≤ V_max

コンプライアンス C（外力がする仕事＝構造全体の変形のしやすさ）を最小化します。変形は 4 節点の平面応力要素（ヤング係数 1，ポアソン比 0.3）による有限要素法で求め，剛性方程式はバンド行列の Cholesky 分解で直接解いています。計算は画面の描画と別のスレッド（Web Worker）で行い，1 反復ごとの結果を少しずつ補間して表示しています。

レベルセット法（反応拡散方程式による更新）

∂φ/∂t = K ( d − λ ) + τ ∇²φ,   −1 ≤ φ ≤ 1

φ ≥ 0 の部分を材料とし，各点の感度 d（ひずみエネルギー密度を平均値で正規化したもの）が体積制約のラグランジュ乗数 λ を上回るところで材料が増えるように φ を更新します（Yamada et al. 2010 の考え方）。拡散項 τ∇²φ が形の滑らかさを決める正則化で，パネルの「形の複雑さ」を上げると τ が小さくなり，細かい部材の多い形になります。更新は陰解法で解き，λ は更新後の体積が目標値に一致するよう二分法で決めています。最初は設計領域全体を材料で満たし，体積を少しずつ減らしながら穴をあけていきます。

MMC 法（Moving Morphable Components）

φ_i = f(x′)·{ 1 − ( (x′/L)⁶ + (y′/f(x′))⁶ )^1/6 },   φ = (1/k) ln Σ_i exp(k φ_i)

部材 i の局所座標 (x′, y′) で表した位相記述関数 φ_i は，部材の内側で正，輪郭でゼロになります（f(x′) は部材軸に沿って線形に変わる半幅）。全部材の φ_i は KS 関数（k = 1.5）でなめらかに合わせて全体の φ とし（単純な最大値 max_i φ_i では部材の継ぎ目に段差や角が残るため，継ぎ目に小さな丸みがつくようにしています），平滑化したヘヴィサイド関数で要素の剛性を決め，6 × 部材数 の設計変数に対する感度を求めて，MMA（Method of Moving Asymptotes）で更新します（Guo et al. 2014）。設計変数が少なく，最適化の結果がそのまま「部材」として読み取れるのが特徴です。パネルの「初期の部材配置」で，最初に置く X 字状の部材の数を選べます。

反復回数を減らすため，目的関数は ln C として規模をそろえ，MMA の移動限界は最初の数反復だけ小さく（0.02）して部材の配置が落ち着いてから広げて（0.05）います。また，材料から 2 要素以上離れた空洞の要素は剛性方程式から外して（支持点からのつながりを確認したうえで）解く規模を小さくしており，1 反復あたりの計算時間も短縮しています。直近 8 反復のコンプライアンスの平均が，その前の 8 反復と比べて 0.5% 未満しか変わらなくなった時点を収束とみなします。

拡張 ESO 法（Extended Evolutionary Structural Optimization）

V_k+1 = max{ V_k(1 − ER), V_max },   α_e ≈ σ_vM,e

要素を「ある（1）」か「ない（0）」のどちらかで扱い，応力の小さい要素を少しずつ取り除いていく方法です（Xie & Steven 1993）。拡張 ESO 法は，取り除くだけでなく，応力の高い部分の周りに要素を付け加えることも許すもので（Cui, Ohmori & Sasaki 2003 ほか），日本の自由曲面シェルや樹状構造の形態創生で用いられてきました。ここでは，各要素中心のミーゼス応力を節点に平均してから半径 max(2, 要素数/15) のフィルターでならし，さらに前の反復の値と平均して（Huang & Xie 2007），振動しにくくしています。1 反復で減らす体積の割合が進化率 ER（パネルで 1〜3% を選べます）で，付け加える量は 2% までに抑えています。目標体積に達してから，直近 5 反復のコンプライアンスの合計がその前の 5 反復と 0.1% 未満しか変わらなくなった時点で収束とします。

収束後の形の仕上げ（平滑化）

MMC 法は部材が重なり合ったまま動くため輪郭に小さな凹凸や継ぎ目の跡が残り，拡張 ESO 法は要素単位で 0／1 を決めるため輪郭が階段状になります。そこで，収束後に次の後処理をかけてから表示しています（MMC 法と拡張 ESO 法の既定）。

1. 支点・荷重点とつながっていない材料（浮いた島）を取り除き，ごく小さな穴を埋めます。
2. 材料域を細線化して骨格線（部材の中心線）を求め，階段状の骨格線を軽くならします。
3. 要素ごとの密度を節点に平均し，縦・横に [1 2 1]/4 の重みでならす処理を 2 回かけます。
4. ならした場の等値線のうち，囲む体積がもとの体積と等しくなる値を二分法で求め，その等値線を構造の輪郭とします。ただし骨格線から 0.8 要素以内は必ず材料として残します。
5. 得られた形でもう一度有限要素解析を行い，そのコンプライアンスを表示します（平滑化で性能がどれだけ変わったかが分かります）。

平滑化だけでは，拡張 ESO 法で生じやすい 1〜2 要素幅の細い部材が消えて部材がちぎれてしまうため，骨格線のまわりを残すようにしています。これにより部材の位相（つながり方）は変えずに，突起や段差だけを取り除くことができ，最適化で得た部材構成がそのまま残ります。MMC 法では，代わりに SIMP 法で形を整える仕上げも選べます（Li et al. 2025 の MMC-SIMP 逐次法の考え方を単一材料の形の仕上げに用いたもの）。MMC の材料域を 2 要素ぶん広げた帯の中だけを設計領域とし，密度フィルター＋ヘヴィサイド射影（鋭さ β を 2 から 16 へ段階的に上げる）と最適性規準法で密度を更新します。輪郭はより最適に近づきますが，細い部材がちぎれて位相が変わることがあるため，既定は平滑化にしています。

図の見方

黒い部分が材料（構造）です。レベルセット法で輪郭の外側に見える細い線は，レベルセット関数 φ = −0.5 の等値線です。φ は材料の内部で 1，空洞で −1 にそろい，その間の境界付近だけで連続的に変わります。この線と黒い輪郭（φ = 0）の間は「まだ材料ではないが φ が −1 まで下がりきっていない」遷移帯で，感度が高い場所ではこの帯の側へ輪郭が広がっていきます。帯の幅は拡散係数 τ で決まり，「形の複雑さ」を上げる（τ を小さくする）ほど細くなります。MMC 法の細い線は各部材の輪郭と軸です。拡張 ESO 法では計算中は要素の有無（0／1）をそのまま表示し，収束後に平滑化した形に切り替わります。

操作

設計領域をクリックすると，その点に荷重が移ります（ドラッグで向きを 15° 刻みで変えられます。Shift キーを押しながらクリックすると荷重を追加）。形はその場から計算を続けて組み変わります。右クリックまたは「境界条件を選ぶ」から，片持ち梁・単純梁・橋・吊り構造・水平力を受ける架構を選べます。設計領域の大きさと要素数は画面の大きさに合わせて決まります（パソコンでおよそ 3,300 要素）。

参考文献

1. T. Yamada, K. Izui, S. Nishiwaki, A. Takezawa: A topology optimization method based on the level set method incorporating a fictitious interface energy, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199, 2876–2891, 2010.
2. K. Otomori, T. Yamada, K. Izui, S. Nishiwaki: Matlab code for a level set-based topology optimization method using a reaction diffusion equation, Structural and Multidisciplinary Optimization, 51, 1159–1172, 2015.
3. X. Guo, W. Zhang, W. Zhong: Doing topology optimization explicitly and geometrically — a new moving morphable components based framework, Journal of Applied Mechanics, 81(8), 081009, 2014.
4. W. Zhang, J. Yuan, J. Zhang, X. Guo: A new topology optimization approach based on Moving Morphable Components (MMC) and the ersatz material model, Structural and Multidisciplinary Optimization, 53, 1243–1260, 2016.
5. Z. Li, H. Xu, S. Zhang, J. Cui, X. Liu: Design of the multi-material structure using an MMC-SIMP sequential topology optimization method, PLOS ONE, 20(5), e0321100, 2025.
6. Y. M. Xie, G. P. Steven: A simple evolutionary procedure for structural optimization, Computers & Structures, 49(5), 885–896, 1993.
7. C. Cui, H. Ohmori, M. Sasaki: Computational morphogenesis of 3D structures by extended ESO method, Journal of the International Association for Shell and Spatial Structures, 44(1), 2003.
8. X. Huang, Y. M. Xie: Convergent and mesh-independent solutions for the bi-directional evolutionary structural optimization method, Finite Elements in Analysis and Design, 43, 1039–1049, 2007.
9. K. Svanberg: The method of moving asymptotes — a new method for structural optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 24, 359–373, 1987.